Les lois de probabilité (ou distributions) sont le cœur des statistiques. Elles décrivent quelles valeurs une variable aléatoire peut prendre et avec quelles probabilités. Grâce à elles, nous pouvons modéliser mathématiquement des phénomènes réels et faire des prédictions.

Objectifs d'apprentissage de cette leçon

✅ Comprendre la différence entre variables aléatoires discrètes et continues
✅ Connaître et appliquer les distributions les plus importantes
✅ Savoir calculer l'espérance et la variance
✅ Savoir choisir la bonne distribution pour un problème donné
✅ Modéliser des problèmes réels avec des distributions

1️⃣ Variables aléatoires – Les bases

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Définition :

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Symbole : X, Y, Z (lettres majuscules).

EXEMPLES :

Lancer de pièce :

X = Nombre de "Pile" sur 10 lancers → X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, ..., 10

Taille corporelle :

X = Taille d'une personne choisie au hasard → X peut prendre n'importe quelle valeur entre env. 50 cm et 250 cm

Temps d'attente :

X = Temps jusqu'au prochain appel dans un centre d'appel → X peut prendre n'importe quelle valeur positive

2️⃣ Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire discrète ne peut prendre qu'un nombre dénombrable de valeurs (souvent des nombres entiers : 0, 1, 2, 3, ...).

🎲 Loi Binomiale

Quand l'utiliser ?

Lors d'un nombre fixe n d'expériences Oui/Non (Bernoulli) indépendantes avec une probabilité de succès p constante.

Notation :

X ~ Binom(n, p)

n = nombre d'essais, p = probabilité de succès

Fonction de probabilité :

P(X = k) = (k parmi n) × p^k × (1-p)^(n-k)

où (k parmi n) est le coefficient binomial

Indicateurs clés :

Espérance : E(X) = n × p
Variance : Var(X) = n × p × (1-p)
Écart-type : SD(X) = √(n × p × (1-p))

EXEMPLE : Lancers de pièces

Situation : Nous lançons une pièce équilibrée 10 fois. X = Nombre de "Pile"

Paramètres :

n = 10 (essais)
p = 0.5 (pièce équilibrée)
X ~ Binom(10, 0.5)

Question 1 : P(X = 5) ?

P(X = 5) = (5 parmi 10) × 0.5^5 × 0.5^5
         = 252 × 0.5^10
         = 252 × 0.000977
         = 0.246 = 24.6%

Question 2 : Espérance ?

E(X) = n × p = 10 × 0.5 = 5

En moyenne, on s'attend à 5 × Pile sur 10 lancers.

Question 3 : Écart-type ?

SD(X) = √(10 × 0.5 × 0.5) = √2.5 ≈ 1.58

Le nombre de Piles varie typiquement de ±1.58 autour de l'espérance.

Applications typiques :

Contrôle qualité (nombre de pièces défectueuses dans un échantillon)
Sondages (nombre de réponses "Oui" parmi n personnes interrogées)
Médecine (nombre de guérisons parmi n patients)
Marketing (nombre de clics pour n affichages publicitaires)

📞 Loi de Poisson

Quand l'utiliser ?

Lorsque nous comptons le nombre d'événements dans un intervalle fixe (temps ou espace), et que ces événements se produisent rarement et de manière indépendante.

Notation :

X ~ Poisson(λ)

λ (Lambda) = taux moyen (événements par intervalle)

Fonction de probabilité :

P(X = k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!

où e ≈ 2.71828 (nombre d'Euler)

Indicateurs clés :

Espérance : E(X) = λ
Variance : Var(X) = λ
Écart-type : SD(X) = √λ

Particularité : Espérance = Variance !

EXEMPLE : Appels au centre d'appel

Situation : Un centre d'appel reçoit en moyenne 4 appels par heure. X = Nombre d'appels dans la prochaine heure

Paramètres :

λ = 4 (appels par heure)
X ~ Poisson(4)

Question 1 : P(X = 3) ?

P(X = 3) = (4^3 × e^(-4)) / 3!
         = (64 × 0.0183) / 6
         = 1.171 / 6
         = 0.195 = 19.5%

Question 2 : P(X = 0) ? (aucun appel)

P(X = 0) = (4^0 × e^(-4)) / 0!
         = (1 × 0.0183) / 1
         = 0.0183 = 1.83%

Très improbable, mais possible !

Question 3 : P(X ≥ 6) ? (au moins 6 appels)

Plus simple via le complémentaire :
P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5)
         = 1 - [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)]
         ≈ 1 - 0.785
         = 0.215 = 21.5%

Applications typiques :

Appels/Visites par unité de temps
Fautes de frappe par page de livre
Accidents par mois
E-mails par heure
Mutations dans une séquence d'ADN

🎯 Comparaison : Binomiale vs Poisson

Critère	Binomiale	Poisson
Nombre d'essais	Fixe (n)	Non défini
Taux d'événement	p connu	λ connu
Exemple	Contrôler 20 pièces	Appels par heure
Espérance	n × p	λ
Variance	n × p × (1-p)	λ
Approximation	-	Poisson ≈ Binom si n grand, p petit

3️⃣ Variables aléatoires continues

Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (nombre de valeurs indénombrable).

📏 Loi Uniforme (Uniform Distribution)

Quand l'utiliser ?

Lorsque chaque valeur dans l'intervalle [a, b] est équiprobable.

Notation :

X ~ Uniform(a, b)

Fonction de densité :

f(x) = 1/(b-a) pour a ≤ x ≤ b, sinon 0

Indicateurs clés :

Espérance : E(X) = (a + b) / 2
Variance : Var(X) = (b - a)² / 12

EXEMPLE : Attente du bus

Situation : Un bus passe exactement toutes les 10 minutes. Tu arrives à un moment aléatoire. X = Temps d'attente en minutes

Paramètres :

a = 0, b = 10
X ~ Uniform(0, 10)

Question : P(X ≤ 3) ?

Pour les distributions continues : Aire sous la courbe !
P(X ≤ 3) = (3 - 0) / (10 - 0) = 3/10 = 0.3 = 30%

Avec 30% de probabilité, tu attends au maximum 3 minutes.

Attente moyenne :

E(X) = (0 + 10) / 2 = 5 minutes

En moyenne, tu attends 5 minutes.

Important pour les distributions continues :

P(X = valeur exacte) = 0 ! On calcule toujours P(a ≤ X ≤ b) comme une aire.

⏱️ Loi Exponentielle

Quand l'utiliser ?

Pour le temps jusqu'à l'arrivée d'un événement, lorsque les événements se produisent à un taux constant λ (sans mémoire !).

Notation :

X ~ Exp(λ)

λ = Taux (événements par unité de temps)

Fonction de densité :

f(x) = λ × e^(-λx) pour x ≥ 0

Indicateurs clés :

Espérance : E(X) = 1/λ
Variance : Var(X) = 1/λ²

Propriété importante - Absence de mémoire :

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Le "temps passé" n'a aucune influence sur le futur !

EXEMPLE : Durée de vie d'une ampoule

Situation : Une ampoule a une durée de vie moyenne de 1000 heures. X = Durée de vie en heures

Paramètres :

E(X) = 1000 → λ = 1/1000 = 0.001
X ~ Exp(0.001)

Question 1 : P(X ≤ 500) ?

P(X ≤ 500) = 1 - e^(-λ×500)
           = 1 - e^(-0.001×500)
           = 1 - e^(-0.5)
           = 1 - 0.606
           = 0.394 = 39.4%

L'ampoule a 39.4% de risque de casser 
dans les premières 500 heures.

Question 2 : P(X > 2000) ?

P(X > 2000) = e^(-λ×2000)
            = e^(-0.001×2000)
            = e^(-2)
            = 0.135 = 13.5%

Il y a 13.5% de chance qu'elle tienne plus de 2000 heures.

Applications typiques :

Durée de vie de produits
Temps entre des événements (ex : entre deux appels)
Temps d'attente pour un événement
Désintégration radioactive

🔗 Lien : Poisson ↔ Exponentielle

Découverte importante :

Ces deux distributions sont étroitement liées !

Poisson : Compte le nombre d'événements dans un intervalle fixe
Exponentielle : Mesure le temps jusqu'au prochain événement

Si le nombre d'événements suit une loi de Poisson (avec taux λ), alors le temps entre les événements suit une loi exponentielle (avec taux λ) !

Psychedu

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