Las distribuciones de probabilidad son el corazón de la estadística. Describen qué valores puede tomar una variable aleatoria y con qué probabilidades. Con ellas podemos modelar matemáticamente fenómenos reales y hacer predicciones.

Objetivos de aprendizaje de esta lección

✅ Entender la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas
✅ Conocer y aplicar las distribuciones más importantes
✅ Calcular el valor esperado y la varianza
✅ Elegir la distribución correcta para un problema
✅ Modelar problemas reales con distribuciones

1️⃣ Variables Aleatorias – Los Fundamentos

¿Qué es una variable aleatoria?

Definición:

Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada resultado de un experimento aleatorio. Símbolo: X, Y, Z (letras mayúsculas).

EJEMPLOS:

Lanzamiento de moneda:

X = Número de "Caras" en 10 lanzamientos → X puede tomar valores 0, 1, 2, ..., 10

Estatura:

X = Estatura de una persona elegida al azar → X puede tomar cualquier valor entre aprox. 50 cm y 250 cm

Tiempo de espera:

X = Tiempo hasta la próxima llamada en el Call Center → X puede tomar cualquier valor positivo

2️⃣ Variables Aleatorias Discretas

Una variable aleatoria discreta solo puede tomar un número contable de valores (a menudo números enteros: 0, 1, 2, 3, ...).

🎲 Distribución Binomial

¿Cuándo usarla?

Para un número fijo n de experimentos independientes de Sí/No con una probabilidad de éxito constante p.

Notación:

X ~ Binom(n, p)

n = número de intentos, p = probabilidad de éxito

Función de probabilidad:

P(X = k) = (n sobre k) × p^k × (1-p)^(n-k)

donde (n sobre k) = n! / (k! × (n-k)!) es el coeficiente binomial

Parámetros clave:

Valor esperado: E(X) = n × p
Varianza: Var(X) = n × p × (1-p)
Desviación estándar: SD(X) = √(n × p × (1-p))

EJEMPLO: Lanzamiento de monedas

Situación: Lanzamos una moneda justa 10 veces. X = Número de "Caras"

Parámetros:

n = 10 (intentos)
p = 0.5 (moneda justa)
X ~ Binom(10, 0.5)

Pregunta 1: ¿P(X = 5)?

P(X = 5) = (10 sobre 5) × 0.5^5 × 0.5^5
         = 252 × 0.5^10
         = 252 × 0.000977
         = 0.246 = 24.6%

Pregunta 2: ¿Valor esperado?

E(X) = n × p = 10 × 0.5 = 5

En promedio esperamos 5 veces Cara en 10 lanzamientos.

Pregunta 3: ¿Desviación estándar?

SD(X) = √(10 × 0.5 × 0.5) = √2.5 ≈ 1.58

El número de caras fluctúa típicamente ±1.58 alrededor del valor esperado.

Aplicaciones típicas:

Control de calidad (número de piezas defectuosas en una muestra)
Encuestas (número de respuestas "Sí" en n encuestados)
Medicina (número de curaciones en n pacientes)
Marketing (número de clics en n impresiones de anuncios)

📞 Distribución de Poisson

¿Cuándo usarla?

Cuando contamos el número de eventos en un intervalo fijo (tiempo o espacio), y estos eventos ocurren de forma rara e independiente.

Notación:

X ~ Poisson(λ)

λ (Lambda) = tasa promedio (eventos por intervalo)

Función de probabilidad:

P(X = k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!

donde e ≈ 2.71828 (número de Euler)

Parámetros clave:

Valor esperado: E(X) = λ
Varianza: Var(X) = λ
Desviación estándar: SD(X) = √λ

Particularidad: ¡Valor esperado = Varianza!

EJEMPLO: Llamadas al Call Center

Situación: Un Call Center recibe en promedio 4 llamadas por hora. X = Número de llamadas en la próxima hora

Parámetros:

λ = 4 (llamadas por hora)
X ~ Poisson(4)

Pregunta 1: ¿P(X = 3)?

P(X = 3) = (4^3 × e^(-4)) / 3!
         = (64 × 0.0183) / 6
         = 1.171 / 6
         = 0.195 = 19.5%

Pregunta 2: ¿P(X = 0)? (ninguna llamada)

P(X = 0) = (4^0 × e^(-4)) / 0!
         = (1 × 0.0183) / 1
         = 0.0183 = 1.83%

Muy improbable, ¡pero posible!

Pregunta 3: ¿P(X ≥ 6)? (al menos 6 llamadas)

Más fácil mediante el complemento:
P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5)
         = 1 - [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)]
         ≈ 1 - 0.785
         = 0.215 = 21.5%

Aplicaciones típicas:

Llamadas/Visitas por unidad de tiempo
Errores tipográficos por página de libro
Accidentes por mes
E-mails por hora
Mutaciones en una secuencia de ADN

🎯 Comparación: Binomial vs. Poisson

Criterio	Binomial	Poisson
Número de intentos	Fijo (n)	No definido
Tasa de eventos	p conocido	λ conocido
Ejemplo	Probar 20 piezas	Llamadas por hora
Valor esperado	n × p	λ
Varianza	n × p × (1-p)	λ
Aproximación	-	Poisson ≈ Binom si n grande, p pequeño

3️⃣ Variables Aleatorias Continuas

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo (valores incontables).

📏 Distribución Uniforme

¿Cuándo usarla?

Cuando cada valor en el intervalo [a, b] tiene la misma probabilidad.

Notación:

X ~ Uniforme(a, b)

Función de densidad:

f(x) = 1/(b-a) para a ≤ x ≤ b, si no 0

Parámetros clave:

Valor esperado: E(X) = (a + b) / 2
Varianza: Var(X) = (b - a)² / 12

EJEMPLO: Espera del autobús

Situación: Un autobús pasa exactamente cada 10 minutos. Llegas en un momento aleatorio. X = Tiempo de espera en minutos

Parámetros:

a = 0, b = 10
X ~ Uniforme(0, 10)

Pregunta: ¿P(X ≤ 3)?

En distribuciones continuas: ¡Área bajo la curva!
P(X ≤ 3) = (3 - 0) / (10 - 0) = 3/10 = 0.3 = 30%

Con un 30% de probabilidad esperas como máximo 3 minutos.

Tiempo de espera esperado:

E(X) = (0 + 10) / 2 = 5 minutos

En promedio esperas 5 minutos.

Importante en distribuciones continuas:

P(X = valor exacto) = 0! Siempre calculamos P(a ≤ X ≤ b) como un área.

⏱️ Distribución Exponencial

¿Cuándo usarla?

Para el tiempo hasta que ocurre un evento, cuando los eventos ocurren a una tasa constante λ (¡sin memoria!).

Notación:

X ~ Exp(λ)

λ = Tasa (Eventos por unidad de tiempo)

Función de densidad:

f(x) = λ × e^(-λx) para x ≥ 0

Parámetros clave:

Valor esperado: E(X) = 1/λ
Varianza: Var(X) = 1/λ²

Propiedad importante - Falta de memoria:

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

¡El "tiempo pasado" no influye en el futuro!

EJEMPLO: Vida útil de una bombilla

Situación: Una bombilla tiene una vida útil promedio de 1000 horas. X = Vida útil en horas

Parámetros:

E(X) = 1000 → λ = 1/1000 = 0.001
X ~ Exp(0.001)

Pregunta 1: ¿P(X ≤ 500)?

P(X ≤ 500) = 1 - e^(-λ×500)
           = 1 - e^(-0.001×500)
           = 1 - e^(-0.5)
           = 1 - 0.606
           = 0.394 = 39.4%

La bombilla se rompe con un 39.4% de probabilidad 
dentro de las primeras 500 horas.

Pregunta 2: ¿P(X > 2000)?

P(X > 2000) = e^(-λ×2000)
            = e^(-0.001×2000)
            = e^(-2)
            = 0.135 = 13.5%

Con un 13.5% dura más de 2000 horas.

Aplicaciones típicas:

Vida útil de productos
Tiempo entre eventos (p. ej. entre llamadas)
Tiempo de espera para un evento
Desintegración radiactiva

🔗 Relación: Poisson ↔ Exponencial

Conclusión importante:

¡Estas dos distribuciones están estrechamente relacionadas!

Poisson: Cuenta el número de eventos en un intervalo fijo
Exponencial: Mide el tiempo hasta el próximo evento

Si el número de eventos sigue una distribución de Poisson (con tasa λ), ¡entonces el tiempo entre eventos sigue una distribución exponencial (con tasa λ)!

Psychedu

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