Die beschreibende (oder deskriptive) Statistik hilft uns, grosse Datenmengen übersichtlich zusammenzufassen und zu visualisieren. Sie beschreibt, was in den Daten vorhanden ist, ohne Verallgemeinerungen über die Stichprobe hinaus zu treffen.

🎯 Lernziele dieser Lektion

✅ Zentrale Lagemaße berechnen und interpretieren
✅ Streuungsmaße von Hand und mit Formeln berechnen
✅ Den richtigen Lagemaß für verschiedene Situationen wählen
✅ Datenverteilungen interpretieren
✅ Ausreisser identifizieren und damit umgehen

📊 Unsere Beispieldaten für diese Lektion:

Quiz-Punkte von 9 Studierenden (0-10 Punkte möglich):

[7, 8, 5, 9, 6, 8, 4, 8, 30]

⚠️ Beachte: Der Wert 30 ist offensichtlich ein Ausreisser (vielleicht ein Dateneingabefehler). Wir werden sehen, wie verschiedene Maße darauf reagieren.

1️⃣ Zentrale Lagemaße: Wo ist das Zentrum?

Zentrale Lagemaße geben uns einen "typischen" oder "repräsentativen" Wert für unsere Daten.

Der Mittelwert (Arithmetisches Mittel)

Definition: Die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl.

📐 Mathematische Formel

Für eine Stichprobe:

x̄ = (Σ xᵢ) / n

Wo:

x̄ = Stichprobenmittelwert ("x-quer")
Σ xᵢ = Summe aller Werte
n = Anzahl der Beobachtungen

Für eine Population:

μ = (Σ xᵢ) / N

🧮 RECHENBEISPIEL VON HAND

Daten: [7, 8, 5, 9, 6, 8, 4, 8, 30]

Schritt 1: Alle Werte addieren

Σ xᵢ = 7 + 8 + 5 + 9 + 6 + 8 + 4 + 8 + 30 = 85

Schritt 2: Durch Anzahl teilen

n = 9
x̄ = 85 / 9 = 9.44 Punkte

Interpretation: Der durchschnittliche Quiz-Score ist 9.44 Punkte.

Kritische Beobachtung:

Das erscheint sehr hoch! Die meisten Werte liegen zwischen 4-9, aber der Ausreisser (30) zieht den Mittelwert stark nach oben.

⚖️ Eigenschaften des Mittelwerts

✅ Vorteile:

Nutzt alle Datenpunkte
Mathematisch gut handhabbar
Basis für weitere Berechnungen

❌ Nachteile:

Extrem anfällig für Ausreisser
Irreführend bei schiefen Verteilungen
Nur sinnvoll für metrische Daten

Der Median (Zentralwert)

Definition: Der Wert, der die Daten in zwei gleich grosse Hälften teilt, wenn sie sortiert sind.

📐 Mathematische Bestimmung

Für ungerade n:

Median = x₍ₙ₊₁₎/₂

Für gerade n:

Median = [x₍ₙ/₂₎ + x₍ₙ/₂ ₊ ₁₎] / 2

🧮 RECHENBEISPIEL VON HAND

Daten: [7, 8, 5, 9, 6, 8, 4, 8, 30]

Schritt 1: Daten sortieren

Sortiert: [4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 30]
Position:  1  2  3  4  5  6  7  8   9

Schritt 2: Mittlere Position finden

n = 9 (ungerade)
Mittelposition = (9 + 1) / 2 = 5

Schritt 3: Wert an Position 5 ablesen

Median = 8 Punkte

Interpretation: Die Hälfte der Studierenden hat 8 oder weniger Punkte, die andere Hälfte 8 oder mehr.

🎯 Wichtig: Der Median ist robust gegenüber dem Ausreisser (30). Er gibt ein realistischeres Bild des "typischen" Studierenden als der Mittelwert (9.44).

Der Modus (Modalwert)

Definition: Der häufigste Wert in den Daten.

🧮 BESTIMMUNG

Daten: [7, 8, 5, 9, 6, 8, 4, 8, 30]

Häufigkeitstabelle:

Wert	Häufigkeit
4	1
5	1
6	1
7	1
8	3 ← Häufigster!
9	1
30	1

Modus = 8 Punkte

Interpretation: Die meisten Studierenden haben genau 8 Punkte erreicht.

🔄 Vergleich der drei Lagemaße

Lagemaß	Wert	Reaktion auf Ausreisser
Mittelwert	9.44	Stark verzerrt durch 30
Median	8.00	Robust! Unverzerrt
Modus	8.00	Robust! Unverzerrt

Faustregel:

Eine grosse Differenz zwischen Mittelwert und Median (hier: 1.44 Punkte) deutet auf Ausreisser oder schiefe Verteilung hin!

2️⃣ Streuungsmaße: Wie verteilt sind die Daten?

Lagemaße sagen uns nur, wo das "Zentrum" ist. Aber wie unterschiedlich sind die einzelnen Werte? Dafür brauchen wir Streuungsmaße.

Die Spannweite (Range)

Definition: Die Differenz zwischen dem grössten und kleinsten Wert.

📐 Formel

Range = x_max - x_min

🧮 RECHENBEISPIEL

Daten: [7, 8, 5, 9, 6, 8, 4, 8, 30]

x_max = 30
x_min = 4
Range = 30 - 4 = 26 Punkte

Interpretation: Die Spanne zwischen der schlechtesten und besten Leistung beträgt 26 Punkte.

⚠️ Problem: Die Spannweite ist extrem anfällig für einzelne Ausreisser!

Der Interquartilsabstand (IQR)

Definition: Der Bereich, in dem die mittleren 50% der Daten liegen.

📐 Konzept: Quartile

Quartile teilen die sortierten Daten in vier gleiche Teile:

Q1 (1. Quartil): 25% der Daten liegen darunter
Q2 (2. Quartil = Median): 50% liegen darunter
Q3 (3. Quartil): 75% liegen darunter

IQR = Q3 - Q1

🧮 RECHENBEISPIEL VON HAND

Daten sortiert: [4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 30]

Schritt 1: Q2 (Median) finden

Q2 = 8 (Position 5)

Schritt 2: Q1 finden (Median der unteren Hälfte)

Untere Hälfte: [4, 5, 6, 7]
Q1 = (5 + 6) / 2 = 5.5

Schritt 3: Q3 finden (Median der oberen Hälfte)

Obere Hälfte: [8, 8, 9, 30]
Q3 = (8 + 9) / 2 = 8.5

Schritt 4: IQR berechnen

IQR = Q3 - Q1 = 8.5 - 5.5 = 3 Punkte

Interpretation: Die mittleren 50% der Studierenden haben zwischen 5.5 und 8.5 Punkte erreicht, eine Spanne von 3 Punkten.

Varianz & Standardabweichung

Die wichtigsten Streuungsmaße!

📐 Formeln

VARIANZ (Stichprobe):

s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n - 1)

STANDARDABWEICHUNG (Stichprobe):

s = √[Σ(xᵢ - x̄)² / (n - 1)]

⚠️ Wichtig: Wir teilen durch (n-1) statt n für die Stichprobenvarianz (Bessel's Korrektur). Dies macht den Schätzer erwartungstreu.

🧮 RECHENBEISPIEL VON HAND (komplett!)

Daten: [7, 8, 5, 9, 6, 8, 4, 8, 30]

Schritt 1: Mittelwert berechnen

x̄ = 85 / 9 = 9.44

Schritt 2: Abweichungen berechnen

xᵢ	(xᵢ - x̄)	(xᵢ - x̄)²
7	-2.44	5.95
8	-1.44	2.07
5	-4.44	19.71
9	-0.44	0.19
6	-3.44	11.84
8	-1.44	2.07
4	-5.44	29.59
8	-1.44	2.07
30	20.56	422.71
Summe	-	496.22

⚠️ Der Ausreisser trägt 422.71 zur Gesamtsumme bei – das sind 85%!

Schritt 3: Varianz berechnen

s² = 496.22 / (9 - 1) = 496.22 / 8 = 62.03 Punkte²

Schritt 4: Standardabweichung berechnen

s = √62.03 = 7.88 Punkte

Interpretation: Im Durchschnitt weichen die Punkte um 7.88 Punkte vom Mittelwert (9.44) ab.

⚠️ Beachte: Die Standardabweichung ist stark durch den Ausreisser verzerrt. Ohne den Ausreisser wäre s ≈ 1.6 Punkte!

Psychedu

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